Exercices sur les suites numériques

Ce document propose des exercices corrigés sur le chapitre des suites numériques,
pour les élèves du premier cycle universitaire (première année) et les élèves des
classes préparatoires scientifiques.
Les exercices proposés sont de difficultés variables, d'énoncés courts, et servent à
approfondir la compréhension et la maîtrise des concepts du cours.
Tous les raisonnements sont explicités, et les solutions proposent des méthodes
élégantes et classiques. Un annexe en fin du document, rappelle l'énoncé du théorème
de Césaro, qui est souvent utilisé pour résoudre beaucoup de problèmes d'équivalence
des suites.

[...] Remarquons d'abord que : avec : . C'est-à-dire en revenant à la définition : tel que : Et donc, pour n on a : Par suite : . En sommant : De plus : et : on déduit alors que : , c'est-à-dire que : et par suite : . Par continuité de la fonction exponentielle, on déduit que : . Exercice En utilisant la concavité de la fonction ln, on a l'encadrement suivant : les inégalités étant strictes pour x>0. [...]

[...] Comme : alors : , ce qui entraine : ( ) = Soit , il existe un entier naturel non nul tel que : ( Donc : < .Et comme : , il vient Donc : L'entier étant fixé et ne dépend pas de n , la suite ( ) converge vers 0. Donc il existe entier naturel non nul tel que : . Prenons et puisque : , Alors : ce qui prouve que la suite ( ) est convergente et converge vers 0. Exercice Posons ( ) . Remarquons que . On a donc : . Et comme : , on a par encadrement : . 2. [...]

[...] Exercice 3 : 1. Déterminer ( ) Donner un équivalent au voisinage de l'infini de S = Déterminer la limite au voisinage de l'infini de la suite définie par : u = Exercice 4 : Etudier la suite u et préciser un équivalent de u si : u > 0 et : u = ln(1+u n IN . Exercice 5 : Soit ) la suite définie par : u et n IN , u = u - u . Montrer que : 1. [...]